【一】可分离变量微分方程
1.定义与性质：
一阶微分方程（可分离变量）是指方程中每个变量的导数与该变量本身可以分离，即方程可以写成(f(x)dx=g(y)dy)的形式。
注意：分离变量法适用于可分离变量的微分方程，且变量分离后，两边积分的函数形式应互不相同。2.解题步骤：
将微分方程化为(f(x)dx=g(y)dy)形式。
对两边分别进行积分。
得到通解形式，并利用初始条件确定常数。1.解析解的常微分方程：对于可分离变量的常微分方程，可以通过积分直接求解。例如，方程(10f(x)g(y)dx=f(x)g(y)dy)两边同时除以(10f(x)g(y))（假设(f(x)g(y)\neq0)），得到(10dx=dy)，积分后得(10x-y=C)。
2.齐次方程：对于齐次方程(yf(x)=g(y))，可以通过变量代换(y=ux)来求解。例如，原方程(y^2f(x)=g(y))代入(y=ux)后，得到(u^2f(x)=g(ux))，进一步处理得到(ln(u)+ln(f(x))=ln(g(ux)))。
1.特征方程：对于一阶线性偏微分方程，其特征方程为(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx})，积分曲线称为特征曲线。
2.特征线族：特征线族是指满足特征方程的曲线族。例如，右行单波方程的初值问题中，特征方程为(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt})，特征线族为(y=C_1)。
1.非零特解：变量分离形式的非零特解是指尝试将特解代入原方程判断其是否有解。例如，对于方程(u(x,t)=X(x)T(t)\neq0)，代入原方程得到两个常微分方程。
2.边值条件：在求解微分方程时，需要考虑边值条件。例如，对于方程(u(0,t)=X(0)T(t))和(u(l,t)=X(l)T(t))，需要满足这些条件才能得到最终解。
通过以上四个部分，我们可以了解到分离变量法在解微分方程中的应用。该方法在数学、物理学等多个领域都有广泛的应用，是解决微分方程问题的重要工具之一。